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Longest Increasing Subsequence)
최장 증가 부분 수열
임의의 수열이 주어졌을 때, 이 수열에서 몇 개의 수 들을 선택해 부분수열을 만들 수 있는데, 이 때 만들어진 부분수열 중 오름차순으로 정렬 된 가장 긴 수열을 최장 증가 수열이라고 한다.
여기서의 부분 수열은 반드시 연속적이거나 유일하지 않아도 된다.
예를 들어 arr[ ] = {10, 20, 10, 30, 20, 50}의 수열이 있다고 할 때 여기서의 LIS는 {10, 20, 30, 50}이고 길이는 4일 것이다.
이제 이를 O(N2)과 O(nlogn)의 시간복잡도를 가지는 두 가지 방법을 알아보자.
1. DP
풀이 과정은 아래와 같다.
- i번째 인덱스에서 끝나는 최장 증가 부분 수열의 마지막에 arr[k]를 추가했을 때의 LIS 길이와
- 추가하지 않고 기존의 length[k] 값
- 둘 중에 더 큰 값으로 length[k] 값을 업데이트합니다.
이 방법은 가장 간편한 방법으로 O(N2)의 시간 복잡도를 가진다.
for (int k = 0; k < n; k++){
length[k] = 1;
for (int i = 0; i < k; i++){
if(arr[i] < arr[k]){
length[k] = Math.max(length[k], length[i] + 1);
}
}
}- BOJ[2565] : 전깃줄
https://www.acmicpc.net/problem/2565
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
static int n;
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st;
n = Integer.parseInt(br.readLine());
int[][] wire = new int[n + 1][2];
Integer[] dp = new Integer[n + 1];
for (int i = 1; i < wire.length; i++) {
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int u = Integer.parseInt(st.nextToken());
int v = Integer.parseInt(st.nextToken());
wire[i][0] = u;
wire[i][1] = v;
}
Arrays.sort(wire, new Comparator<int[]>() {
public int compare(int[] o1, int[] o2) {
return o1[0] - o2[0];
}
});
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
dp[i] = 1;
/*
* i번째 전봇대를 기준으로 이전의 전봇대들의 전선을 연결하기 위한 탐색
* 즉, i번째 전봇대에 연결된 B전봇대는 탐색할 j번째 전봇대에 연결된 B전봇대보다 값이 커야함
*/
for (int j = 1; j < i; j++) {
if (wire[i][1] > wire[j][1]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
int max = 0;
/*
* i번째 A전봇를 기준으로 연결가능한 개수 탐색
* 및 최댓값 찾기
*/
for (int i = 1; i <= n; i++) {
max = Math.max(dp[i], max);
}
// 최소 철거 개수 = 전체 개수 - 설치 가능한 전깃줄
System.out.println(n - max);
}
}2. Binary Search
DP에서의 시간복잡도를 개선하기 위해 이분탐색을 활용한다.
즉, LIS 형태를 유지하기 위해 주어진 배열의 인덱스를 하나씩 살펴보며 그 숫자가 들어갈 위치를 이분탐색으로 탐색하여 삽입한다.
이분탐색의 시간복잡도는 O(logn) 이므로, 이 문제의 시간복잡도는 O(nlogn)이 된다.
기본적인 풀이 과정은 아래와 같다.
- 탐색을 진행하며 수열의 최댓값 큰 수는 계속 뒤로 이어붙이고
- 중간에 낄 수 있는 수는 이분탐색을 이용해 적절한 자리를 찾아 교체시키는 방식으로 수열을 만든다.
- 수열에 포함된 숫자들보다 작은 숫자가 나오면 가장 처음 숫자를 교체한다.
arr[ ] = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 를 예시로 들어 로직을 자세하게 보자.
- 첫 숫자 10은 가장 짧은 길이의 증가 부분 수열이다. 배열에 바로 포함시킨다.
{ 10 } - 다음 숫자 20은 10보다 크기 때문에 부분 수열 중 가장 큰 수인 10보다 크다. 바로 뒤에 이어 붙인다.
{ 10, 20 } - 다음 숫자 10은 제일 작은 수인 첫 번째 숫자 10보다 작은 것도 아니고 제일 큰 수인 20보다 큰 것도 아니므로 이분탐색으로 10의 위치를 찾아준다. 제일 첫번째 숫자인 10과 같으므로 이분탐색을 이용해서 교체 가능한 자리를 찾을 경우 첫번째 10의 자리가 리턴될 것이다. 10과 10을 교체한다. 부분 수열의 길이는 유지된다.
{ 10, 20 } - 다음 숫자 30은 부분 수열에서 가장 큰 수인 20보다 크다. 끝에 바로 붙여준다.
{ 10, 20, 30 } - 다음 숫자 20은 부분 수열에서 가장 작은 수인 10과 가장 큰 수인 30 사이에 있는 수이다. 앞에서와 같이 이분 탐색을 이용하여 자리를 찾고 자리를 교체한다. 부분 수열의 길이는 유지된다.
{ 10, 20, 30 } - 마지막 숫자 50은 부분 수열의 가장 큰 수인 30보다 크다. 끝에 바로 붙여준다.
{ 10, 20, 30, 50 }
이 문제에서는 우연히 정확한 부분 수열이 탄생했지만, 중간에 2자리의 10이 5로만 바껴도 부분수열이 달라졌을 것이다.
따라서, 이 방법만으로는 길이를 구하는 방법이지 부분수열을 구하는 방법이 아닌 것을 주의하자.
최종적으로 최장 부분 수열을 구하기 위해선 어떤 항목이 참조 되는지 Reference 배열을 정의하여 요소들을 Tracing하는 테크닉을 사용하여야 한다.
/* Find LIS NLogN */
int arr[] = new int[100001]; // 원본 수열
int lis[] = new int[100001]; // LIS 수열
int lisCnt = 0; // LIS의 길이
int trace[] = new int[100001]; // TRACE를 위한 수열
int findLIS(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i == 0 || arr[i] > lis[lisCnt - 1]) {
trace[arr[i]] = lisCnt;
lis[lisCnt++] = arr[i];
} else {
int start = 0, end = lisCnt;
int idx = lisCnt;
while(start < end) {
int mid = (start + end) / 2;
if(lis[mid] >= arr[i]) {
idx = Math.min(idx, mid);
end = mid;
} else {
start = mid + 1;
}
}
lis[idx] = arr[i];
trace[arr[i]] = idx;
}
}
// trace 배열에서 가장 나중을 꺼내면 됨.
int cur = lisCnt-1;
for(int i=n-1; i>=0; i--) {
if(trace[arr[i]] == cur) {
lis[cur] = arr[i];
cur--;
}
}
return lisCnt;
}- BOJ[11053] : 가장 긴 증가하는 부분 수열
https://www.acmicpc.net/problem/11053
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
int[] A = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
A[i] = sc.nextInt();
}
int[] lis = new int[N];
lis[0] = A[0];
int idx = 1;
int tmp = 0;
for (int i = 1; i < N; i++) {
if (lis[idx - 1] < A[i])
lis[idx++] = A[i];
else if (lis[0] > A[i])
lis[0] = A[i];
else {
tmp = Arrays.binarySearch(lis, 0, idx, A[i]);
lis[tmp < 0 ? -tmp - 1 : tmp] = A[i];
}
}
System.out.println(idx);
}
}- BOJ[2352] : 반도체 설계
https://www.acmicpc.net/problem/2352
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
static int n, arr[], lis[];
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
n = Integer.parseInt(br.readLine());
arr = new int[n];
lis = new int[n];
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
for (int i = 0; i < n; i++) {
arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
}
int lis_cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i == 0 || arr[i] > lis[lis_cnt - 1]) {
lis[lis_cnt++] = arr[i];
} else {
int idx = Arrays.binarySearch(lis, 0, lis_cnt, arr[i]);
idx = (idx < 0) ? -idx -1 : idx;
lis[idx] = arr[i];
}
}
System.out.println(lis_cnt);
}
}3. Segment Tree
요소는 원래 인덱스를 유지하면서 오름차순으로 먼저 정렬됩니다. 엄격하게 증가하는 LIS의 경우 동일한 요소의 경우 인덱스가 높은 요소가 낮은 요소보다 초기 자리를 얻습니다. 이것은 쌍의 배열에 저장할 수 있습니다.
이제 세그먼트 트리에 채워집니다. 정렬 된 배열에서의 위치에 따라 원래 인덱스에 해당하는 잎의 세그먼트 트리에 채워집니다.
처음에는 세그먼트 트리가 0으로 초기화되었습니다. 이제 정렬 된 배열에서 i 번째 요소를 처리했다고 가정 해 보겠습니다. (i + 1) 번째 반복에서 값의 원래 위치를 j로 둡니다.
그런 다음 값이 0에서 (j-1) +1 사이의 잎의 최대 값이 될 세그먼트 트리의 j 번째 잎을 채 웁니다.
(앞의 하위 배열에서 그보다 작은 요소에 의해 형성된 LIS의 길이 및 포함에 대해 +1)
// Finding the Longest Increasing Subsequence
// using Segment Tree
import java.io.*;
import java.util.*;
class Pair {
int first;
int second;
}
class GFG {
// Building the entire Segment tree, the root of which
// contains the length of the LIS
static void buildTree(int[] tree, int pos, int low,
int high, int index, int value) {
// Index is the original index of current element
// If the index is not present in the given range,
// then simply return
if (index < low || index > high)
return;
// If low == high then the current position
// should be updated to the value
if (low == high) {
tree[pos] = value;
return;
}
int mid = (high + low) / 2;
// Recursively call the function on the
// child nodes
buildTree(tree, 2 * pos + 1, low, mid,
index, value);
buildTree(tree, 2 * pos + 2, mid + 1, high,
index, value);
// Assign the current position the max of
// the 2 child nodes
tree[pos] = Math.max(tree[2 * pos + 1],
tree[2 * pos + 2]);
}
// Function to query the Segment tree and
// return the value for a given range
static int findMax (int[] tree, int pos, int low, int high, int start, int end) {
// Query: Same as the query function of Segment
// tree. If the current range is totally inside
// the query range, return the value of current
// position
if (low >= start && high <= end)
return tree[pos];
// If it is out of bound, return the minimum
// which would be 0 in this case
if (start > high || end < low)
return 0;
// Partial overlap
int mid = (high + low) / 2;
// Call findMax on child nodes recursively
// and return the maximum of the two
return Math.max(findMax(tree, 2 * pos + 1, low, mid, start, end),
findMax(tree, 2 * pos + 2, mid + 1, high, start, end));
}
static int findLIS(int arr[], int n) {
// The array of pairs stores the integers
// and indices in p[i]
List<Pair> p = new ArrayList<Pair>();
for(int i = 0; i < n; i++)
{
Pair p1 = new Pair();
p1.first = arr[i];
p1.second = i;
p.add(p1);
}
// Sorting the array in increasing order
// of the elements
Collections.sort(p, (p1, p2) ->
{
/* For same values, element with the higher
index appear earlier in the sorted array.
This is for strictly increasing subsequence.
For increasing subsequence, the lower index
appears earlier in the sorted array. */
if (p1.first == p2.first)
return p2.second - p1.second;
// Sorting the array according to their values.
return p1.first - p2.first;
});
// Calculating the length of the segment-tree
int len = (int)(Math.pow(2, (int)(Math.ceil(Math.sqrt(n))) + 1)) - 1;
int[] tree = new int[len];
// Building the segment-tree, the root node of
// which contains the length of LIS for the n
// elements
for(int i = 0; i < n; i++) {
buildTree(tree, 0, 0, n - 1, p.get(i).second, findMax(tree, 0, 0, n - 1, 0, p.get(i).second) + 1);
}
return tree[0];
}
// Driver Code
public static void main(String[] args) {
int arr[] = { 10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60 };
int n = arr.length;
System.out.println("Length of the LIS: " + findLIS(arr, n));
}
}- BOJ[12015] : 가장 긴 증가하는 부분 수열 2
https://www.acmicpc.net/problem/12015
// 직접 풀어 봐요!참조
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